Notă: Când fiică-mea era în clasa a noua la „Vasile Alecsandri”, i-am făcut un referat la Logică, cu sentimentul că scriu o poveste pentru copii. Profesorul de acolo era socotit un ciudat, nu preda niciodată nimic, punea note din burtă şi începea să scrie la tablă după sfârşitul orelor, fără niciun asistent în clasă. Articolaşul de mai jos, nu a primit aşadar vreun feed-back, chiar dacă are unele idei originale şi chiar o mică inovaţie numită de autor „paradoxul adevărului”.

Din cele mai vechi timpuri, logicienii erau deosebit de preocupaţi de problema paradoxurilor sau sofismelor. Sofismul este un raţionament adevărat doar în aparenţă şi fals în conţinut. Termenul sofism provine din grecescul sophistēs. Odinioară sophistēs şi sophós erau sinonime şi însemnau înţelept, expert, „priceput în toate”.
Pe vremea lui Socrate, termenul a început să fie folosit în legatură cu acei profesori care ofereau tinerilor, contra plată, învăţătură şi expuneri publice de elocință. Într-un sofism se încalcă tacit anumite supoziţii, sau anumite realităţi încă necunoscute, ceea ce duce la concluzii opuse referitor la aceeaşi realitate. Presupunând p adevărat, rezultă ~p adevărat. Paradoxul mincinosului, cu variantele sale, pe care tradiţia i-l atribuie lui Eubulide din Milet, după cum scrie Diogenes Laertios, în Despre vieţile şi doctrinele filosofilor este celebru. Noi îl vom prezenta în varianta lui Epimenide Cretanul care spunea „toţi cretanii sunt mincinoşi”: dacă această afirmaţie este adevărată, atunci Epimenide fiind cretan, minte. Deci propoziţia nu este adevărată. Dacă propoziţia este falsă, atunci Epimenide, fiind cretan, afirmă o propoziţie falsă, aşadar, ea este adevărată. Şi aşa mai departe.

Filosoful, logicianul şi scriitorul american, Bertrand Russell (sec. XX) rezolvă acest paradox, prin interzicerea ca un membru al unei clase (mulţimi) să fie definit prin mijlocirea clasei înseşi, cum este Epimenide, un element al clasei mincinoşilor cretani. Deci, dacă Epimenide este cretan şi toţi cretanii sunt mincinoşi, atunci nu pot spune că Epimenide este mincinos, deoarece avem de-a face cu adevăruri de ranguri diferite şi apare distincţia dintre limbaj şi metalimbaj: propoziţia ca atare se exprimă prin limbaj natural, iar faptul că ea este sau nu adevărată, ţine de metalimbaj.
Sofismele, paradoxurile, sau dilemele, constituiau în antichitate de multe ori prilejuri de exersare a retoricii, sau poate numai de gimnastică a minţii. De exemplu dilema lui Corax spune că retorul acesta a avut un elev pe nume Tisias, care nu vroia să îi plătească lecţiile. Chemat în judecată, Tisias recurge la următoarea dilemă: Corax, ce ai promis să mă înveţi? – Arta de a convinge. Atunci, spuse Tisias: sau m-ai învăţat această artă, şi atunci accepţi că eu te conving să nu îţi plătesc nimic, sau tu nu m-ai învăţat arta de a convinge şi atunci nu îţi datorez nimic, pentru că nu te-ai ţinut de promisiune. Profesorul Corax îi răspunde printr-o altă dilemă: Dacă mă convingi că nu merit nici un ban, va trebui să mă plăteşti, pentru că eu mi-am ţinut promisiunea şi te-am învăţat. Dacă dimpotrivă, nu mă convingi, trebuie să mai iei lecţii, şi cu atât mai mult, să mă plăteşti. Judecătorii nu au dat dreptate nici unuia dintre ei.
Aceeaşi variantă ni-i prezintă ca protagonişti pe sofistul Protagoras şi elevul său Eulathus. E vorba de acelaşi cerc vicios în care, cum considerau medievalii, argumentul desfăşurat poate fi întors cu aceeaşi putere împotriva autorului (A. Dumitriu, în volumul Eseuri, Ed. Eminescu 1986, p.24).

Dilema crocodilului şi formalizarea paradoxului mincinosului

Putem da multe exemple de paradoxuri de acest fel; cel mai cunoscut este cel al crocodilului: un crocodil răpeşte un copil. Mama copilului i-l cere înapoi, la care crocodilul răspunde: ţi-l dau dacă ghiceşti ce voi face, ţi-l dau sau nu ţi-l dau! După ce meditează atent, mama copilului îi răspunde: nu mi-l vei da! În această situaţie, crocodilul nu poate lua o decizie fără să se contrazică: dacă mama a ghicit, atunci crocodilul, conform convenţiei, trebuie să-i dea copilul, or a i-l înapoia înseamnă a infirma răspunsul mamei şi deci nu trebuie să-l înapoieze. Dacă mama n-a ghicit, atunci, crocodilul nu trebuie să-i înapoieze copilul, ceea ce confirmă propoziţia „nu mi-l vei da”, şi deci trebuie să-l înapoieze.
Anton Dumitriu, filosof român ce a scris o monumentală Istorie a logicii, formalizează acest tip de paradox al mincinosului în felul următor:

„Fie a şi b două obiecte, două propoziţii (sau conţinutul acestor propoziţii) sau chiar două acţiuni; lui A îi vom aplica (sau va primi) pe a dacă A spune adevărul şi îi vom aplica (sau va primi) pe b, dacă spune neadevărul. A declară însă: primesc pe b. Dar această propoziţie nu poate fi decât adevărată sau falsă, tertium non datur. Dacă această propoziţie: primesc sau mi se aplică b este adevărată, A trebuie să primească pe a, fiindcă a spus un lucru adevărat; dar, dacă primeşte pe a, a spus un lucru fals, deci ar trebui să primească pe b; dar în cazul acesta, a spus adevărul, deci ar trebui să primească pe a etc. Ajungem la o contradicţie, oricare ar fi afirmaţia lui A, adevărată sau falsă”. (A. Dumitriu, ibidem, p.35).

Această schemă poate căpăta orice conţinut care va duce la paradox, după cum arată logicianul român. Soluţia cea mai interesantă la paradoxul mincinosului este, după Anton Dumitriu, cea formulată de Chrysippos, filosof stoic discipol al lui Cleanthes şi care i-a urmat lui Zenon la conducerea Academiei din Atena. „Propoziţia eu mint nu ar fi o propoziţie, ci un sunet fără nici un sens… propoziţia eu mint, fiind contradictorie, se distruge pe ea însăşi şi nu reprezintă nimic.” (ibidem, p.26).
Astfel, pentru a concluziona situaţia paradoxurilor, cităm concluziv: „un paradox nu e decît o eroare logică, şi nu implică nimic, el nefiind decât un vid al gândirii. De unde necesitatea de a găsi toate speciile posibile de sofisme, de a le clasifica şi de a găsi în mod tehnic soluţiile lor”, ceea ce fac filosofii evului mediu şi continuând cu cei moderni şi contemporani.

Paradoxul adevărului

Înainte de a formula şi alte paradoxuri care să ne confirme demersul, să observăm că totuşi paradoxul nu este o eroare logică, aşa cum abrupt se exprimă mai sus, ci la paradox se ajunge tocmai în urma aplicării logicii într-un mod automat şi fără a deosebi situaţiile concrete. De aceea, voi formula şi eu un paradox care aparent se opune celui al mincinosului:
„Orice propoziţie a mea este adevărată” (p)

Să arăt că este un paradox: Dacă p este adevărată, atunci ea generează un sistem de propoziţii posibile (care îmi aparţin) şi care toate ar fi adevărate. Practic, orice propoziţie posibilă pe care o emit este adevărată. Cu alte cuvinte, îmi este imposibil să mint. Consider că de aici decurg două piste:

1. a) din punct de vedere logic eu pot să formulez orice propoziţie, inclusiv pe următoarea:

„Este fals că orice propoziţie a mea este adevărată”. Fiind şi aceasta o propoziţie care îmi aparţine, făcând parte din sistemul generat de p, ar trebui să fie adevărată, ceea ce conduce la paradox.

1. b) Din punct de vedere semantic, eu pot formula orice propoziţie şi dincolo de cele ale ştiinţelor sau ale matematicii; astfel pot înainta orice ipoteză, observaţie sau propoziţie, folosindu-mă de limbajul natural sau care să facă parte din natură, de tipul p3: „Afară plouă”. Evident, p3 poate fi adevărată sau falsă, fiindcă, din câte ştim, nicăeri nu există o ţară unde să plouă 365 de zile pe an. Ceea ce duce la contradicţie şi paradox.

Aşadar, pot spune că alături de propozţia „eu mint”, celebră în istoria logicii şi care generează tot felul de paradoxuri (vezi Gh. Enescu, Dicţionar de logică, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1985, pp. 271-273), un alt paradox (poate mai puţin  vizibil, dar la fel de tare) este cel „eu spun mereu adevărul”. Probabil că din punct de vedere filosofic, discuţia se îndreaptă către diverse teorii ale adevărului, care, după câte aflăm de la cei mai învăţaţi, atunci când trebuie să le formalizăm, ajungem la alte tipuri de paradoxuri ce subminează însuşi bazele matematicii, cum ar fi termenul de „mulţime a tuturor mulţimilor”.
Fiindcă se pune întrebarea: acest concept de mulţime a tuturor mulţimilor, dacă reprezintă o mulţime, atunci se conţine pe sine sau nu? Dacă se conţine pe sine, atunci mulţimea ce se naşte din mulţimea iniţială şi incluziunea cu sine, este mai bogată decât prima, care nu mai este deci mulţime a tuturor mulţimilor, iar dacă nu se conţine pe sine, înseamnă că nu este mulţime a tuturor mulţimilor: contradicţie. La fel ca în paradoxul bărbierului. Fie bărbierul satului, acel om din sat care îi bărbiereşte pe cei care nu se bărbieresc singuri. Întrebare: cine îl bărbiereşte pe bărbier? Las răspunsul cititorilor.
Oricum: dacă se bărbiereşte singur, atunci contrazice definiţia bărbierului, iar dacă nu se bărbiereşte, obligatoriu, prin definiţie, trebuie să fie bărbierit de bărbierul satului, care este el însuşi: contradicţie. Iar contradicţia se obţine folosind legile logicii şi nu ocolindu-le!
O variantă a dilemei mincinosului: Propoziţia scrisă aici este falsă: dacă e falsă atunci spune adevărul, dacă e adevărată, atunci spune minciuna, deci e adevărată ş.a.m.d.
Sau, combinând adevărul cu falsul: Pe o faţă a unei foi este scris: Propoziţia scrisă pe cealaltă faţă este falsă şi pe cealaltă faţă stă scris: Propoziţia scrisă pe cealaltă faţă este adevărată (Specker), după Dicţionar de logică, p. 272.

Paradoxul referinţei la sine

Având în vedere cele de mai sus, putem acum susţine că paradoxurile minciunii şi ale adevărului nu sunt de fapt decât nişte paradoxuri ale referinţei la sine. E deajuns ca o propoziţie să fie propria sa referinţă şi, atunci se ajunge la paradox. În plus, nu numai limbajul comun conţine ambiguităţi şi poate conduce la paradoxuri, ci şi limbajul ştiinţific, în speţă cel matematic, care se foloseşte de concepte contradictorii ca „mulţimea tuturor mulţimilor” sau de demonstraţii prin reducere la absurd cu apel la principiile contradicţiei şi al terţului exclus care pot conduce la soluţii circulare, abuzive. Deasemenea, putem observa că propoziţiile care nu trebuie să mintă niciodată, cum sunt cele ale matematicii, îşi păstrează consistenţa cu preţul abordării numai a unei părţi de realitate, fiindcă nu orice se poate matematiza (de exemplu, propoziţiile artei, care nu sunt în mod necesar adevărate sau false, ci emoţionale).
Întorcându-ne la problema formulată de mine, în legătură cu paradoxul mincinosului, consider că acesta apare aşadar, din felul general al propoziţiei: Toţi cretanii sunt mincinoşi… (ceea ce este o utopie), sau, Toate propoziţiile mele sunt adevărate, la fel de utopic.
Un asemenea raţionament totalitar se pare că a avut califul Omar în faţa Bibliotecii din Alexandria, căreia de altfel i-a şi dat foc, văduvind omenirea poate de cea mai mare comoară spirituală a tuturor timpurilor.
Se spune că Omar, calif arab ajuns în faţa marii bibliotecii din Alexandria ar fi făcut următorul raţionament: „Aceste cărţi ori conţin învăţătura Coranului şi sunt de prisos, ori conţin alte idei decât Coranul şi atunci sunt dăunătoare”. Or, în ambele situaţii, ele trebuie arse, fiindcă ori sunt de prisos, ori dăunătoare (după Dicţionar de logică, p. 91). Culmea paradoxului e că acest fel de dilemă (formalizată astfel:

Dacă A, atunci C, dacă B atunci C
A sau B
deci C) se numeşte dilemă simplă constructivă!