aşa-numita lectură standard sau fermă în care cititorul model e cel care acceptă un tip de iniţiere

Filosoful însuşi descumpăneşte cititorul în ce priveşte importanţa filosofiei pentru matematică: uneori o neagă, însă mereu într-un context care o susţine, chiar de pe poziţiile antifilosofului

dezideratul său este să scoată din uzul matematicii aceste abordări (fundaţionale) – mulțimile – ca pe nişte non-sensuri

spre deosebire de realismul obişnuit, sensul unei propoziţii nu rezidă în ceva din afara ei

Căutând să delimiteze limbajul extensional (cel care exprimă extensiuni cum ar fi indivizi, clase, valori logice, proprii limbajului teoriei funcţiilor de adevăr, al claselor) de cel intensional (care exprimă proprietăţi, concepte, sensuri şa) Carnap ajunge să conceapă şi un limbaj neutru (propriu mai degrabă limbajului natural); între astfel de limbaje nu există dispută, ci alegere.

Pe Wittgenstein îl interesează cum semnifică semnele unei propoziţii, funcţiunea sintactică a logicii (TLP 3.334) şi nu ce semnifică; semnificaţia unui semn nu are voie să joace nici un rol în sintaxa logică (TLP 3.33)

Reprezentaţionismul ar fi modul în care e concepută o demonstraţie, o deducţie, un calcul, în cadrul cel mai adecvat, începând de la simbolurile folosite, organizarea spațiului grafic şi geometric, continuând cu limbajul expunerii

Filosoful caută cele mai potrivite construcţii și cadre de reprezentaționare prin detaşarea de realism şi accentul pe formalism

Logica şi matematica pentru Wittgenstein au fost mereu imagini ale lumii

există un spaţiu reprezentaţional (ce poate fi şi logic, matematic, formal – grafic, „colorat” sau nu, etc) cu un grad maxim de facilitate, în care orice axiomă, teoremă sau fapt matematic poate fi expus în aşa fel încât justificarea, înţelegerea, dovedirea, argumentarea, să fie un proces acceptabil cvasi-evident

Atitudinea lui Wittgenstein din a doua parte a filosofiei sale, în ce priveşte instituirea teoriei matematice, e asemănătoare cu cea apofatică a teologilor care nu atribuie proprietăţi pozitive fiinţei supreme, ci le enumeră pe acelea pe care Dumnezeu nu le are…

pentru Wittgenstein, evidența e mai aproape de senzaţie, dar e neanalizabilă, e un dat, precum o realitate, dar care nu se impune din afară, ci dinăuntru (cadru transcendental); ţine de senzorial dar nu se verifică empiric; nu e pur raţională, logică sau matematică, e la limită între pur şi empiric (în termenii lui Kant)

Propoziţiile despre construcţii matematice sunt cu alte cuvinte propoziţii empirice care implică riscul de eroare cel mai mic posibil

O demonstraţie matematică trebuie să fie sinoptică (übersichtlich ) (RFM III 1)

matematica e o disciplină neunitară care nu poate fi surprinsă de un singur joc reprezentaţional
numărul va fi pentru Wittgenstein o aplicație care acționează asupra unei forme gramaticale de tip subiect-predicat

Wittgenstein face mai mult o gramatică a numelor de numere

Precum Socrate, Wittgenstein e autentic prin felul în care ridică interogaţii şi la fel, răspunde, afișând nonșalanța unei conștiințe retrase, a celui care cercetează neștiind
în domeniul cercetării fundamentale influenţa lui Wittgenstein e marcantă în ce priveşte disputele dintre logicism, nominalism, intuiţionist, constructivism

Socrate preda conștiința neștiinței, Wittgenstein căuta să-i vindece de iluzii pe cei care, considerau că au găsit adevărul

(fragment din volumul Wittgenstein – prolegomene pentru o filosofie a matematicii, apărut la editura Eikon, București, 2017)

Wittgenstein a fost sensibil la problemele filosofiei dintotdeauna pe care le-a sublimat prin personalitatea sa puternică și a încercat să ni le prezinte sub forma unor înlănțuiri de evidențe. Judecăţile sale, aparent tributare inspirației de moment, de fapt rodul unor îndelungi meditații, de multe ori au şocat, provocând intense dezbateri, comentarii, interpretări. Stilul său laconic, sentențios, ușor de recunoscut, impune prin expresii transcrise ca sub puterea revelației.

Dincolo de sensul tehnic, convențional, al filosofiei, Wittgenstein descoperă limitele misterioase ale lumii și omului, ceea ce-l consacră a fi un filosof fecund, multidisciplinar (preocupările sale îl recomandă pentru ontologie, logică, etică, estetică, filosofia limbajului). Contribuţiile la filosofia matematicii se bucură de o paletă largă de receptare[1] chiar dacă aureolate de nimbul anti-filosofiei.

Există dezbateri şi comentarii până şi asupra felului de lectură cel mai potrivit care să favorizeze o receptare corespunzătoare a filosofiei lui Wittgenstein. E vorba de aşa-numita lectură standard sau fermă în care cititorul model e cel care acceptă un tip de iniţiere (care se produce sau nu, fiindcă nu există un moment clar determinat în care să aibă loc înţelegerea întregului edificiu wittgensteinian), dar și de un  cititor neconform, cu o legătură mult mai complexă cu textul, ce poate valorifica inclusiv contradicțiile, non-sensul, participând la operă ca la o reprezentație artistică. Genul de discuţii care apar în jurul filosofiei lui Wittgenstein sunt în legătură cu sensul sau non-sensul filosofiei, ce este practica filosofică și matematică, unde începe şi unde se termină filosofia, mergând până la a se problematiza dacă interesul arătat de Wittgenstein matematicii, constituie propriu-zis o filosofie a matematicii ş.a.

Unii comentatori susţin că nu există continuitate între Tractatus Logico-Philosophicus (TLP în continuare), filosofia medie şi târzie a lui Wittgenstein, alţii fiind convinşi de contrariu. Filosoful însuşi descumpăneşte cititorul în ce priveşte importanţa filosofiei pentru matematică: uneori o neagă, însă mereu într-un context care o susţine, chiar de pe poziţiile antifilosofului. La un moment dat, chiar afirmă că cea mai importantă contribuţie a sa se află în domeniul filosofiei matematicii[2].

*

 Metodologic se poate vorbi de duă tipuri de relaţie între matematică şi filosofie, aflate în interdependenţă: unul de explicitare-interpretare, care eventual pregăteşte altul de instituire-înlocuire (după Stephan Körner[3]); atunci când de pildă, analiza de explicitare a dus la descoperirea antinomiilor teoriei mulţimilor, analiza de înlocuire (filosofico-matematică sau metamatematică) a condus la o nouă accepţiune a conceptului de mulţime, cu alte criterii de consistenţă.

În cadrul acestor relaţii poate fi plasat şi filosoful vienez, mai ales în postura de explicitare și interpretare, care nu presupune un sistem riguros și explicit matematic; Wittgenstein nu instituie termeni matematici în cadrul teoriilor, nu desfăşoară activitate matematică propriu-zisă, dar dovedeşte cunoaşterea fundamentelor domeniilor pe care le discută. Criticile sale asupra matematicii şi limbajului matematic sunt coerente şi devin cu timpul atribute ale unei viziuni originale. Aspectul critic asupra unor concepţii înrădăcinate (cum e teoria mulţimilor) este cel mai pregnant şi dezideratul său este să scoată din uzul matematicii aceste abordări (fundaţionale) ca pe nişte non-sensuri. În acelaşi timp, acolo unde critica vizează „bazele”, „esenţa” obiectelor, propoziţiilor, fenomenelor matematice, filosoful îşi rezervă dreptul de a nu „atinge” cu nimic practica matematică (cum e critica sa asupra metodei inducţiei, a demonstraţiei prin recursivitate a asociativităţii operaţiei de adunare a numerelor naturale a lui Skolem, teoremele de construcţie a numerelor reale ale lui Dedekind, Cantor, teorema de incompletitudine a lui Gödel şi altele), ci de a ne face să privim în adevărata lumină aceste metode, demonstraţii, teoreme de imposibilitate etc. Și să nu ne iluzionăm că practica matematică ar face parte din vreun „absolut”, că e neschimbabilă şi impenetrabilă, sau fundamentată definitiv în vreun sol filosofic. De aceea, munca sa poate fi asemănată celei de „dezvrăjire”, ca să folosesc un termen propriu teoriilor sociologice.

*

Realismul intensional este tipul de angajament logico-ontologic şi gnoseologic specific TLP, cu prelungire în filosofia „târzie”. Avem de-a face cu un realism prin faptul că presupune o afirmare directă a existenţei şi a adevărului matematic[4], dar spre deosebire de realismul obişnuit, sensul unei propoziţii nu rezidă în ceva din afara ei, ci se poate spune că sensul rezidă chiar în acele condiţii de adevăr prin care propoziția se arată. Dacă în TLP propoziţiile (logicii, matematicii, limbajului curent) comportă o analiză finală care le conferă obiectivitate şi univocitate, în filosofia mai târzie, ele depind mai mult de felul în care se exprimă, se construiesc de către subiect. În grilă kantiană, cunoaşterea de tip metafizic a priori e necesară, universală şi are ca obiect mai mult posibilul (în TLP) iar în filosofia „târzie”, cunoaşterea e a posteriori şi se ocupă mai mult de contingent[5].

Prin intensional, nuanţă adăugată realismului, am în vedere faptul că în modul în care este dat, descris, un lucru, se pune accent pe logic, posibil, modal, combinatoriu şi nu pe realismul naiv. Contextele intensionale din TLP sunt cele în care se construiesc expresiile logicii (tautologiile, arată Wittgenstein, spun acelaşi lucru, adică nimic, deci nimicul capătă caracter modal putând fi exprimat într-o multitudine de forme) sau expresiile ce arată forma generală a propoziţiei sau forma numărului natural etc. De aspectul intensional al realismului TLP ţine şi faptul că există un singur schelet logic pentru o multitudine de fapte şi stări de lucruri, logicul fiind fundalul de înaintare a analizei filosofice şi matematice. Lumile posibile[6] din real au ca exponent pe „cea mai bună dintre ele” care este cea logică, idee leibniziană. Wittgenstein este o verigă într-un şir de filosofi preocupaţi de stilul intensional, de la J.St.Mill care discută despre conotaţie şi denotaţie, la Frege cu teoria semnificării (Sinn şi Bedeutung) până la Carnap care consacră termenii de intensiune şi extensiune, context extensional şi intensional etc. Dealtfel Carnap este unul dintre continuatorii tipului de ontologie tractariană prin conceptul său de „descriere de stare”, propunând practic o altă expresie pentru „starea de lucruri” dar şi cea de „lume posibilă”. Căutând să delimiteze limbajul extensional (cel care exprimă extensiuni cum ar fi indivizi, clase, valori logice, proprii limbajului teoriei funcţiilor de adevăr, al claselor) de cel intensional (care exprimă proprietăţi, concepte, sensuri şa) Carnap ajunge să conceapă şi un limbaj neutru (propriu mai degrabă limbajului natural); între astfel de limbaje nu există dispută, ci alegere.

Dar poate cel mai vizibil fapt din TLP vizavi de aspectul intensional este că formalismul numărului natural propus de Wittgenstein este un precursor (formal identic) al λ-calculului recurent folosit de Church în tentativa sa de a formaliza teoria tipurilor.

Realismul intensional al TLP reiese cel mai bine din afirmaţia wittgensteiniană pe care o adaptez astfel:

Propoziţiile logice descriu scheletul lumii sau mai degrabă îl reprezentaţionează[7]. Ele „tratează” despre nimic. Ele presupun că numele au semnificaţie şi propoziţiile elementare au sens şi în aceasta constă legătura lor cu lumea. E clar faptul că anumite combinaţii de simboluri – care au esenţialmente un caracter determinat – sunt tautologii, trebuie să indice ceva despre lume. În aceasta constă faptul decisiv… (TLP  6.124).

Pe Wittgenstein îl interesează cum semnifică semnele unei propoziţii, funcţiunea sintactică a logicii (TLP  3.334) şi nu ce semnifică; semnificaţia unui semn nu are voie să joace nici un rol în sintaxa logică (TLP 3.33).

La 3.221 afirmă:

Obiectele pot fi doar numite. Semnele le reprezintă. Eu pot numai să vorbesc despre ele, nu pot să spun ce sunt ele (nu le pot exprima, n.n). O propoziţie nu poate spune decât cum este un lucru, nu ceea ce este el.

Deasemenea, definirea numărului natural ţine tot de aspectul intensional al realismului wittgensteinian.

*

Unitatea dintre gândire şi expresia ei este Characteristica universalis leibniziană. Problematica unei gândiri pure, adică independente de un suport grafic, simbolic[8], a fost consacrată de Leibniz, aşa cum o preia Wittgenstein: atunci când gândirea aşa-zis pură se exprimă, la mijloc e o adecvare de tip reprezentaţionist. În plus, faptul că se caută reducerea sau identificarea matematicii cu logica, în special prin intermediul calculului deductiv, este un alt reflex leibnizian[9]. Reprezentaţionismul ar fi modul în care e concepută o demonstraţie, o deducţie, un calcul, în cadrul cel mai adecvat, începând de la simbolurile folosite, organizarea spațiului grafic şi geometric, continuând cu limbajul expunerii, având ca obiectiv găsirea celui mai convenabil drum demonstrativ, pe care Leibniz îl numeşte „fir al Ariadnei”[10]. Stephan Körner este îndreptăţit să observe filiaţia dintre cei doi filosofi, în ce priveşte izomorfismul dintre gânduri şi exprimarea lor:

Programul lui Leibniz este, mai întâi de toate, acela de a inventa o metodă de «formare şi aranjare a caracterelor şi semnelor încât ele să reprezinte gânduri, adică ele să fie legate aşa cum sunt gândurile corespunzătoare»[11]. Această idee anticipează exact una din doctrinele centrale din Tractatus Logico-Philosophicus al lui Wittgenstein.[12]

Un reprezentaţionism strict, ca să mă exprim astfel, desemnează tocmai izomorfismul dintre gând şi felul în care acesta este simbolizat-înfăţişat, specific TLP; miza acestuia constă nu în adecvarea la realitate, ci la forma realităţii, deci ontologia este preponderent de tip realist intensional. În plus, problema izomorfismului ridică problema de unde ştim să deosebim realitatea de reprezentarea ei. Răspunsul este următorul: deosebirea este de tip ontologic şi o face  substanţa a ceea ce există şi se află în unitate logico-ontologică; e vorba de nimeni alta decât de misterioasa „substanţă a lumii” (TLP 2.021). Pe parcurs, reprezentaţionismul la Wittgenstein nu se mai rezumă numai la izomorfism ci apare posibilitatea neunicității reprezentaţionării. Filosoful caută cele mai potrivite construcţii și cadre de reprezentaționare prin detaşarea de realism şi accentul pe formalism, prin critica sistemelor reprezentaţionale curente, așa cum apar în teoremele şi teoriile diverse ale matematicii. Dar tot despre reprezentaţionism e vorba!

Pe tot parcursul TLP, Wittgenstein susţine că o propoziţie îşi arată sensul şi ceea ce arată ea nu se mai poate exprima altfel în limbaj, decât tot prin propoziţie; atunci când reprezentaţionarea este adecvată, ea este unică şi totală, celelate stări de lucruri ce ar sta în locul propoziţiei ca nişte „sinonimii”, fiind mai slabe. Iată exigenţa semnului propoziţional care exprimă gândirea!: nu e posibil pe baza mecanismelor de gândire să desluşim chiar acele mecanisme de gândire – corespunzătoare propoziţiei.

*

Logica şi matematica pentru Wittgenstein au fost mereu imagini ale lumii. Dacă în Tractatus, „faptele în spaţiul logic alcătuiesc lumea” (TLP 1.13) în filosofia ulterioară, matematica e cu atât mai legată de aplicaţiile şi relaţiile cu limbajul în genere, chiar dacă acesta nu mai este un domeniu unitar, ci o „mixtură pestriţă de tehnici de argumentare”[13]. În ce fel matematica reflectă lumea? Ca înţelegere specială a lumii, matematica impune ca practică de bază, ceea ce am numit reprezentaţionism matematic[14]. În primă instanţă, reprezentaţionismul este cadrul tuturor reprezentărilor unui fapt matematic, toate modurile sale de apariţie posibile.

De exemplu, consider ca fapt matematic simbolistica scrierii numerelor naturale: există o scriere romană, alta arabă (ultima reprezentare dovedindu-şi superioritatea în practică), sau alta cu liniuţe (de care Wittgenstein face uz în multe situaţii); toate aceste reprezentări şi altele asemenea, formează cadrul reprezentaţional al scrierii numărului natural. Eu numesc toate aceste moduri particulare de scriere a numeralelor, reprezentaţionări; ele nu sunt neapărat necesare, se impun cele care îşi dovedesc eficacitatea.

Ipoteza cea mai tare a reprezentaţionismului o formulez astfel: există un spaţiu reprezentaţional (ce poate fi şi logic, matematic, formal – grafic, „colorat” sau nu, etc) cu un grad maxim de facilitate, în care orice axiomă, teoremă sau fapt matematic poate fi expus în aşa fel încât justificarea, înţelegerea, dovedirea, argumentarea, să fie un proces acceptabil cvasi-evident care să nu necesite alt efort de înţelegere, decât simbolizarea, reprezentarea, înfăţişarea sa. Ceea ce se arată, nu se mai descrie. Felul în care se arată un fapt matematic este reprezentaţionarea sa. Dacă aceasta nu constituie o matematică, atunci sigur are de-a face cu o filosofie a matematicii!

Dacă reprezentarea faptului matematic ţine de uzul matematicienilor, fiind o anumită reprezentaţionare din cele posibile, reprezentaţionalul este cadrul, baza, suportul, ghidul  reprezentării.

În primă instanţă, disputele matematicienilor au loc pentru a reprezenta, nu a reprezentaţiona un fapt matematic; în genere se aderă la modalități reprezentaţionale implicite. Wittgenstein în TLP alege logica pentru a expune teoria numerelor, logica fiind socotită propriul suport reprezentaţional. Ulterior, filosoful consideră că virtuţile logicii pentru un asemenea scop sunt insuficiente, aderând la alte cadre reprezentaţionale de filosofie a matematicii: intuiţionism, finitism şi strict finitism, constructivism. (A accepta sau nu, de pildă, principiul terţului exclus este a adera sau nu la un cadru reprezentaţional în vederea reprezentării faptului matematic).

Virtutea edificiului matematic constă în aceea că la un moment dat, din cadrul reprezentaţional se detaşează soluţia reprezentaţionistă, care devine sau nu o „reprezentare”, reprezentare ţinând de aspectul cultural şi istoric al matematicilor, nu de acela „pur” matematic.

Un exemplu de reprezentaţionism filosofico-matematic wittgensteinian pe care îl am în vedere, îl consacră modul de generare a spaţiului logic (SL), „spaţiul logic propoziţional” (TLP 4.463), cu tabelul lui Wittgenstein ce cuprinde posibilităţile de adevăr ale propoziţiilor şi expresiile condiţiilor lor de adevăr.[15] Într-o lucrare conexă prezentei, generalizez în mod firesc semnul logico-propoziţional wittgensteinian într-un cadru reprezentaţional constructivist şi, deasemenea, expun cadrul formal-reprezentaţional al definirii numărului natural. Evident că reprezentaţionismul nu se reduce la o simplă teorie a reprezentării, la acceptarea sau negarea unei astfel de teorii. Se înrudeşte cu teoria reprezentării unor Augustin sau Frege, dispune de mijloace logice, fizice, matematice, transcendentale, dar nu se reduce la ele.

Se poate constata că orice critici, contraziceri sau contraexemple aduse unei teorii sau rezultate matematice, fac parte din acelaşi reprezentaţionism, numai fiindcă se referă la aceeaşi problematică sau fapt matematic, nu invocând criterii de identitate sau principii logice, ci doar un criteriu contextual în urma căruia faptul matematic este recunoscut ca atare (aşa cum funcţionează în viaţa de zi cu zi capacitatea de a recunoaşte fapte, lucruri, oameni etc).

Atitudinea lui Wittgenstein din a doua parte a filosofiei sale, în ce priveşte instituirea teoriei matematice, e asemănătoare (după cum constată David Pears[16]) cu cea apofatică a teologilor care nu atribuie proprietăţi pozitive fiinţei supreme, ci le enumeră pe acelea pe care Dumnezeu nu le are… Şi acest apofatism e tot un aspect al reprezentaţionismului: nu există un sistem reprezentaţional complet, ca şi cum ar fi detaşat de timp, de modul transcendental şi categorial sau altfel, de cadrul analitic care îl face posibil.

Se poate sesiza diferenţa dintre reprezentarea faptului (întâi fenomenul cum ne apare, apoi cum este expus pentru a-l înţelege, deci reprezentaţionat, ceea ce face matematicianul şi filosoful matematicii) şi faptul ca atare indiferent ce credem despre acesta; în orice caz, exigenţa reprezentaţionării există, mergând până la a spune că faptul matematic nu este altceva decât repezentaţionarea lui. Apare întrebarea: de ce există mai multe reprezentaţionări ale unui fapt şi pe cine exprimă ele atunci? Reprezentaţionalul ţine evident de reprezentare şi este soluţia găsită la un moment dat! Fiind acceptată la un moment dat de comunitatea de matematicieni, reprezentaţionarea devine o reprezentare, fiind ceea ce poate fi admis într-un mod specific matematic (ceea ce ţine de munca matematicianului pur); pe când reprezentaţionismul e legat de un mod potrivit de reprezentare nu întotdeauna univoc, pentru a surprinde, înţelege, acel fapt. Astfel, în matematică, totul a fost reprezentat, dar nu totul reprezentaţionat. Reprezentaţionarea presupune şi activitatea filosofică, tâlcul filosofic: e ceea ce face Wittgenstein în filosofia matematicii. În plus, o propoziţie matematică poate fi reprezentaţionată (clarificată din punct de vedere filosofic, intuitiv) fără să fie acceptată ca reprezentare matematică, adică fără să se încadreze în rigorile unui formalism sau convenţii matematice.

*

Reprezentaţionismul wittgensteinian ca evidențialism parcurge întreaga filosofie wittgensteiniană a matematicii (FWM în continuare): ideile se arată în aşa fel încât să fie propriul lor suport explicativ. Argumentele de tip lingvistic alternează cu cele logic-formale şi vizual-geometrice. Imperativul filosofiei este să îşi facă ideile auto-evidente. Wittgenstein descoperă evidenţa: aceasta e mai aproape de senzaţie, dar e neanalizabilă, e un dat, precum o realitate, dar care nu se impune din afară, ci dinăuntru (cadru transcendental); ţine de senzorial dar nu se verifică empiric; nu e pur raţională, logică sau matematică, e la limită între pur şi empiric (în termenii lui Kant). Evidenţa se instituie metafizic,  posibilitatea ei este de factură transcendentală. Domeniul ei de manifestare (logic, matematic, poetic, mistic etc.) e opțional, contingent, niciodată definitiv. Scepticismul la care ar conduce incapacitatea de a dezvălui total ceea ce se petrece în lume (logica faptelor nu poate fi reprezentată, nu este nimic de comunicat care să fie acceptabil evident numai pe baze logice, raţionale ci doar reprezentaţionale, ceea ce ar presupune un complex transcendental fenomenalist) este astfel atenuat sau chiar anulat. Avem mereu posibilitatea de a ne reprezentaţiona altfel un fapt al lumii.

Dacă reprezentaţionismul TLP este unul bazat pe puterea propoziţiei de a reflecta gândirea, pe un izomorfism (ulterior renegat) între gândire şi realitate, în descendenţa teoriei sensului la Frege, a atomismului logic şi logicismului, dar şi în analogie cu reprezentările fizicii (spaţiul fazelor), consider că ulterior metoda reprezentaţionistă se apropie mai mult de formalism, constructivism şi formalismul strict ca tipuri de filosofii ale matematicii. Felul în care caracterizează Stephan Körner formalismul stric[17], consider că e propriu şi reprezentaţionismului witgensteinian, înglobând perioada TLP dar şi pe cea ulterioară:

Formalismul strict ca filosofie a matematicii este mai aproape de doctrina lui Kant din Estetica transcendentală decât de concepţia lui Hilbert[18]. După opinia lui Kant, o propoziţie în matematica pură are ca obiect construcţiile – construcţii în spaţiu şi timp care, chiar prin natura acestor intuiţii, sunt mărginite. După formalismul strict, obiectul matematicii îl constituie construcţiile a căror posibilitate este mărginită de limitele sub care percepţia este posibilă, iar propoziţiile noastre despre aceste construcţii sunt demonstrationes ad oculos citite, ca să zicem aşa, pe percepţie. Ele sunt adevărate propoziţii sintetice. Totuşi, evidenţa lor nu este ca la tautologiile logice, nici nu este, cum susţinea Kant, acea evidenţă specifică particularului presupus a priori. Este evidenţa propoziţiilor fenomenaliste foarte simple sau a propoziţiilor cu date senzoriale. Propoziţiile despre construcţii matematice sunt cu alte cuvinte propoziţii empirice care implică riscul de eroare cel mai mic posibil (s.n.). Acesta este motivul pentru care, discutând procesul demonstraţiei – unul din principalele subiecte ale ştiinţei formalismelor – Curry spune, în mod foarte natural, că este „greu de  imaginat un proces mai clar definit şi mai obiectiv”.[19]

Nici nu se putea caracteriza mai bine reprezentaţionismul wittgensteinian ca filosofie a matematicii!

În vederea reconstrucţiei teoretice a unui cadru reprezentaţionist-evidențialist al matematicii, se pot invoca mai multe afirmaţii de-ale lui Wittgenstein, începând cu perioada TLP şi terminând cu cea a RFM (Remarks on the Foundation of Mathematics):

2.1: Ne facem imagini ale faptelor (Wir machen uns Bilder der Tatsachen – TLP 1921); (We picture facts to ourselves – TLP 1961).

2.11: Imaginea reprezintă starea de lucruri în spaţiul logic, existenţa şi nonexistenţa stărilor de lucruri (Das Bild stellt die Sachlage im logischen Raume, das Bestehen und Nichtbestehen von Sachverhalten vor – TLP 1921); (A picture presents a situation in logical space, the existence and non-existence of states of affairs – TLP  1961).

2.12: Imaginea este un model al realităţii (Das Bild ist ein Modell der Wirklichkeit – TLP 1921); (A picture is a model of reality- TLP 1961).

2.151: Forma de reprezentare (reprezentaţionare, „pictorială”) garantează posibilitatea ca obiectele să se raporteze unele la celelalte în acelaşi fel în care se raportează elementele imaginii unele la celelalte (Die Form der Abbildung ist die Möglichkeit, dass sich die Dinge so zu einander verhalten, wie die Elemente des Bildes – TLP 1921); (Pictorial form is the possibility that things are related to one another in the same way as the elements of the picture – TLP 1961);

2.1511: În felul acesta imaginea este legată cu realitatea; ea ajunge până la realitate (Das Bild ist so mit der Wirklichkeit verknüpft – es reicht bis zu ihr – TLP 1921); (That is how a picture is attached to reality; it reaches right out to it – TLP 1961);

2.1512: Imaginea este ca o unitate de măsură aplicată realităţii (Es ist wie ein Maßstab an die Wirklichkeit angelegt – TLP 1921); (It is laid against reality like a measure – TLP 1961).

Argumente pentru evidențialism găsim şi în filosofia ulterioară TLP:

O demonstraţie matematică trebuie să fie sinoptică (übersichtlich[20]) (RFM III 1);

Numim demonstraţie unică o structură a cărei reproducere este un exerciţiu simplu de rezolvare (ibidem); sau:

Ar trebui să putem avea o vedere sinoptică a demonstraţiei (RFM III 55);

Demonstraţia este (ar trebui să fie) procesul evident (RFM III 42)[21].

*

Reprezentaționismul îmbracă adesea și aspecte formale, în special când Wittgenstein depistează legile funcţiilor logice ale spaţiului logic binar, sau când încearcă formalizarea numărului natural (în TLP). De fapt în TLP, a reprezentaţiona înseamnă a descoperi forma logică a fenomenului, cu miza pe unicitatea acestei forme. Mai târziu, încrederea în virtuţile logicii, mai ales cea de a fi un spațiu reprezentaţional necesar şi suficient matematicii, dispare.

În perioada „târzie”, felul în care filosoful oscilează sau pare că se contrazice în privinţa aportului filosofiei pentru matematică, ţine tot de atitudinea sa reprezentaţionistă. Este vorba de o reiterare a poziţiei din TLP unde Wittgenstein declară că propriile afirmaţii sunt absurde, dar au sens. Aceeaşi atitudine e dublată acum de certitudinea că matematica e o disciplină neunitară care nu poate fi surprinsă de un singur joc reprezentaţional. Rămâne în sarcina filosofului de a critica teoriile curente și de a propune alte cadre pentru a justifica matematica. Formalismul existent e nesatisfăcător: fie scapă de sub control, cum se întâmplă în fundamentele matematicii, fie e tributar unor concepții extensionaliste care subminează conceptul de funcție sau cel de număr, procedeul diagonal al lui Cantor e iluzoriu etc. Aspectul formal al reprezentaționismului (pe lângă cel critic) îl face pe Wittgenstein să propună concepte proprii de funcție, număr, calcul, regulă, instituind un Spațiu Gramatical formal unde matematica se exprimă ca atare, inclusiv ca joc de limbaj. Aici, de pildă, numărul va fi pentru Wittgenstein o aplicație care acționează asupra unei forme gramaticale de tip subiect-predicat, iar propoziția nu mai are o formă generală ca în TLP .

Practic nu există nici un teritoriu al matematicii care să nu fie reprezentaţionabil, numai că ţine de structura şi dinamica matematicii să nu fie unitară sub aspect reprezentaţional.

Dacă în TLP, Wittgenstein avea tendinţa să simplifice matematica, corectând munca unor Frege, Russell, Whitehead asupra fundamentelor, spre a concepe matematica într-un mod coerent, necontradictoriu, în perioada de „tranziţie”[22] Wittgenstein face mai mult o gramatică sau o filosofie a limbajului în matematică, o gramatică a numelor de numere[23], sau cvasiformalism[24]. În ultima perioadă (anii 1934-1944, în special cu PR şi RFM) creşte vederea de ansamblu asupra matematicii, prevalând aspectele critice. Matematica încetează să mai fie o doctrină, deci nu mai poate fi abordată dogmatic. E simptomatic faptul că filosoful găsește mereu argumente pentru a arăta că matematica e o disciplină abordată greşit de matematicieni, filosofi şi logicieni (ca şi în TLP!). În plus, logica e relevantă doar ca logică a expresiilor noastre, a uzului limbii şi există mai multe jocuri de limbaj matematic; însă exigenţele filosofului de a prezenta într-un mod cât se poate de simplu, reprezentaționist problemele ei, rămân.

*

Filosofia matematicii la Wittgenstein (FWM) este pe lângă o colecţie de idei despre matematică, o dezbatere şi o dezvoltare care tinde să se reia mereu din acelaşi loc, cu aceleași interogații. În același timp multe idei ajung la maturitate, în sensul că se consacră ca elemente ale unei filosofii a matematicii. În majoritatea cazurilor se arată a fi decisive, deschizând noi perspective filosofice. FWM este o concepţie pertinentă, deschisă, pe linia conceptelor şi stilului filosofic general practicat de Wittgenstein care îi permite să revină, să se corecteze, chiar să îşi schimbe sau să îşi dezvolte părerile.

Filosoful austriac întruchipează un punct de inflexiune (de discontinuitate ar zice alţii) al relaţiei dintre filosofie şi matematică, al disputelor moderne asupra unor fapte matematice de interes. Precum Socrate, Wittgenstein e autentic prin felul în care ridică interogaţii şi la fel, răspunde, afișând nonșalanța unei conștiințe retrase, a celui care cercetează neștiind. Prin aceasta, pregăteşte terenul unor „teorii de înlocuire” şi de „instituire” (de pildă când deschide perspectivele calcului recurent descoperit ulterior de Church şi denumit λ-calcul); astfel FWM devine relevantă:

– în domeniul matematicii aplicate: precursoare a calculului automat şi algoritmic (preluat în tehnica maşinilor de calcul); în aplicarea şi implementarea unor modele fizice în matematică; în autonomizarea disciplinelor matematice ţinând de modelarea unor fapte concrete: astăzi, teorii ale acţiunii, informaţiei, complexităţii;

– în domeniul cercetării fundamentale influenţa lui Wittgenstein e marcantă în ce priveşte disputele dintre logicism, nominalism, intuiţionist, constructivism; filosoful e socotit un promotor al constructivismului matematic.

În primă instanţă, FWM pune probleme de graniţă (într-un stil inconfundabil), printr-o focalizare a ideilor proprii, fără să adere la vreun anumit tip de teorie, fără să dea soluţii definitive, teoretice, dogmatice. Wittgenstein îşi pune întrebări, critică, problematizează, ironizează, şi prin aceasta, este un filosof socratic. Deasemenea, reprezentaţionismul are virtuţi maieutice, făcându-ne să descoperim „evidenţele” în noi înşine.

Cert este că toate aceste viziuni şi analize (unele) minuţioase, semănând de multe ori cu ideile de rezolvare ale matematicienilor, se concretizează într-un traseu original, plin de suspans, uneori schimbând perpective înrădăcinate sau acceptate tacit de filosofi sau matematicieni, indiferent că aceştia sunt Frege sau Russell, Cantor sau Hilbert, Skolem, Brouwer, Ramsey, Weyl, Gödel, Turing sau alţii.

FWM ţine de „încheierea” într-un stil filosofic a demersului matematic pus în faţa imposibilităţii de a argumenta în acelaşi mod matematic. Acesta este aspectul terapeutic al rolului filosofiei pentru matematică şi este relevant pentru a-l apropia pe filosoful vienez de cel atenian: Socrate preda conștiința neștiinței, Wittgenstein căuta să-i vindece de iluzii pe cei care, considerau că au găsit adevărul. Scepticismul devine o metodă de poziționare, nu o abdicare, ceea ce arată în fond că orice căutare sau rezultat științific oricât de „special” se aşază în mod firesc în trena filosofiei…

[1] Mai puțin în limba română, unde cărțile sale de filosofie a matematicii (în special Remarks on the Foundation of Mathematics) nu sunt traduse. Ceea ce irită până acum în spațiul de receptare al limbi române e că Wittgenstein e tradus și prezentat ca „filosof al limbajului” și că se bate moneda pe o ruptură între concepția sa timpurie și cea târzie, fără ca traducătorii și interpreții să fi dovedit faptul că au înțeles corect măcar o etapă din filosofia lui Wittgenstein. Așa cum spunea Mathieu Marion, cum să înțelegeți convertirea de la Wittgenstein I la Wittgenstein II fără să înțelegeți Tractatusul?

[2] Ray Monk, 1990, Ludwig Wittgenstein: The Duty of Genius, NY, The Free Press, 466.

[3] Stephan Körner, 1965, Introducere în Filosofia Matematicii, Editura Ştiinţifică, traducere Al. Giuculescu, a se vedea capitolul VIII, „Natura Matematicii Pure şi Aplicate”, subcapitolul 5, „Matematica şi filosofia”.

[4] Nu prin deducţie sau generalizare.

[5] Există voci (cum ar fi Max Black) împotriva posibilismului TLP, pornind de la ontologia TLP şi interpretarea termenilor primari, Tatsache (faptă) şi Sachverhalt (stare de lucruri); a se vedea articolul lui Weissman, 1967, „Ontology in the Tractatus”, în Philosophy and Phenomenological Research, vol. 27, nr.4, 475-501.

[6] Posibil înseamnă necontradictoriu din punct de vedere logic; ulterior, Wittgenstein nu mai consideră contradicţia un obstacol în calea constituirii unei logici.

[7] Exprimarea îmi aparţine.

[8] „… nu credeam că semnele sau caracterele sunt atât de necesare raţionamentului”- Leibniz 1972, „Dialog privitor la conexiunea dintre lucruri şi cuvinte şi la realitatea adevărului”, în Opere Filosofice I, Editura Științifică, trad. Constantin Floru, 13), precum şi nota 9, Dan Bădărău, ibid., 18: „convingerea aceasta că o gândire oricât de abstractă nu-şi poate face drum fără ajutorul unor elemente care s-o semnifice (imagini sensibile, cuvinte, simboluri şi semne grafice) este constantă la Leibniz (cf. Scrisoarea către Gallyos din 1677, în Gerhardt, Mathem. Schriften, I, 181 sau Răspunsuri la reflecţiile D-lui Bayle, în Gerh., Philosoph. Sch., IV, 559). Pe această bază că nu există gândire pură este de considerat întreaga teorie a filosofului de la Hanovra asupra characteristicii universale.”)

[9] „Leibniz… trebuie să-şi fi dat seama că practic este imposibil să stăpâneşti deducţii, uneori foarte complicate, fără un simbolism adecvat. El trebuie să fi descoperit – în particular în cercetările sale despre posibilităţile unei matematici a infinitesimalelor – că inventarea unui simbolism pentru reprezentarea enunţurilor şi demonstraţiilor, pe de o parte, şi cunoaşterea structurii lor logice, pe de altă parte, deşi separabile în gândire, sunt în realitate rar separabile” (St. Körner 1965, 33).

[10] Ibidem.

[11] Oscar Becker, 1954, Die Grundlagen der Mathematik, Freiburg, 359, apud. St. Körner, op.cit., 33.

[12] St. Körner, 1965, 33-34.

[13] Remarks on the Foundation of Mathematics (RFM), III 46.

[14] Relaţia lui Wittgenstein cu matematica poate fi asemănată cu cea dintre un regizor şi opera dramatică. Conţinutul demersului său aparţine matematicii, filtrat printr-o înţelegere critică a acesteia, iar sensul, reprezentarea, i-l dă filosoful, dincolo de înţelegere sau interpretare, prin expunerea sa, în context reprezentaţional. De aceea voi căuta să evidenţiez relaţia dintre lume, realitate şi exprimarea critică a matematicii, ca pe niște premize ale unui concept wittgensteinian de filosofie a matematicii.

[15] Deasemenea propoziţia (TLP 6.36111) care caută să surprindă unidimensional „problema kantiană” referitoare la mâinile stângă şi dreaptă, e un alt exemplu de reprezentaţionism filosofico-matematic.

[16] David Pears, 1988, The False Prison A Study of the Development of Wittgenstein’s Philosophy, Oxford University Press, New York , 67.

[17] Propriu şi FWM după cum voi arăta, măcar prin faptul că e împotriva abordărilor consacrate de tip Cantor, Hilbert (în fundamentele matematicii) sau deopotrivă Principia Mathematica.

[18] Discuţia are loc cu ocazia unei comparaţii între formalismul lui Hilbert şi strict-formalismul lui Curry.

[19] St. Körner, 1965, 113-114.

[20] Cu înţeles şi de „clar”, şi de „sistematic”.

[21] Cf. RFM 1984, 1998, traducerea îmi aparține.

[22] O filosofie de mijloc, anii 1929-1933, cu Philosophical Remarks (PR) şi Philosophical Grammar (PG).

[23] „Aritmetica este gramatica numerelor”, PR 108.

[24] După cum se exprimă Pasquale Frascolla, 1994.